Algebra lineare Esempi

$- 3 + 3 \sqrt{3} i$

Passaggio 1

Calcola la distanza da

$(a, b)$ all'origine usando la formula

$r = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

$r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 2

Semplifica

$\sqrt{{(- 3)}^{2} + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Eleva

$- 3$ alla potenza di

$2$ .

$r = \sqrt{9 + {(3 \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 2.1.2

Applica la regola del prodotto a

$3 \sqrt{3}$ .

$r = \sqrt{9 + 3^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Eleva

$3$ alla potenza di

$2$ .

$r = \sqrt{9 + 9 {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 2.2

Riscrivi

${\sqrt{3}}^{2}$ come

$3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Usa

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere

$\sqrt{3}$ come

$3^{\frac{1}{2}}$ .

$r = \sqrt{9 + 9 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.2.3

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.2.4

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3^{1}}$

Passaggio 2.2.5

Calcola l'esponente.

$r = \sqrt{9 + 9 \cdot 3}$

Passaggio 2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica

$9$ per

$3$ .

$r = \sqrt{9 + 27}$

Passaggio 2.3.2

Somma

$9$ e

$27$ .

$r = \sqrt{36}$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi

$36$ come

$6^{2}$ .

$r = \sqrt{6^{2}}$

Passaggio 2.3.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$r = 6$

Passaggio 3

Calcola l'angolo di riferimento

$θ̂ = \arctan (| \frac{b}{a} |)$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{3 \sqrt{3}}{- 3} |)$

Passaggio 4

Semplifica

$\arctan (| \frac{3 \sqrt{3}}{- 3} |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Elimina il fattore comune di

$3$ e

$- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi

$3$ da

$3 \sqrt{3}$ .

$θ̂ = \arctan (| \frac{3 (\sqrt{3})}{- 3} |)$

Passaggio 4.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di

$\frac{\sqrt{3}}{- 1}$ .

$θ̂ = \arctan (| - 1 \cdot \sqrt{3} |)$

Passaggio 4.2

Riscrivi

$- 1 \cdot \sqrt{3}$ come

$- \sqrt{3}$ .

$θ̂ = \arctan (| - \sqrt{3} |)$

Passaggio 4.3

$- \sqrt{3}$ corrisponde approssimativamente a

$- 1.7320508$ , che è un valore negativo, perciò rendi negativo

$- \sqrt{3}$ ed elimina il valore assoluto

$θ̂ = \arctan (\sqrt{3})$

Passaggio 4.4

Il valore esatto di

$\arctan (\sqrt{3})$ è

$\frac{π}{3}$ .

$θ̂ = \frac{π}{3}$

Passaggio 5

Il punto si trova nel secondo quadrante perché

$x$ è negativo e

$y$ è positivo. I quadranti sono etichettati in senso antiorario, a partire da quello in alto a destra.

Quadrante

$2$

Passaggio 6

$(a, b)$ si trova nel secondo quadrante.

$θ = π - θ̂$

$θ = π - \frac{π}{3}$

Passaggio 7

Semplifica

$θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Per scrivere

$π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 7.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

$π$ e

$\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 7.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Sposta

$3$ alla sinistra di

$π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Passaggio 7.3.2

Sottrai

$π$ da

$3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 8

Usa la formula per trovare le radici del numero complesso.

${(a + b i)}^{\frac{1}{n}} = r^{\frac{1}{n}} c i s (\frac{θ + 2 π k}{n})$ ,

$k = 0, 1, \dots, n - 1$

Passaggio 9

Sostituisci

$r$ ,

$n$ e

$θ$ nella formula.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Per scrivere

$π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{3}{3}$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π k}{2}$

Passaggio 9.2

$π$ e

$\frac{3}{3}$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π k}{2}$

Passaggio 9.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π k}{2}$

Passaggio 9.4

Sottrai

$π$ da

$π \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.4.1

Riordina

$π$ e

$3$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π k}{2}$

Passaggio 9.4.2

Sottrai

$π$ da

$3 \cdot π$ .

${(6)}^{\frac{1}{2}} c i s \frac{\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k}{2}$

Passaggio 9.5

${(6)}^{\frac{1}{2}}$ e

$\frac{\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k}{2}$ .

$c i s \frac{{(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Passaggio 9.6

$c$ e

$\frac{{(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$ .

$i s \frac{c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Passaggio 9.7

$i$ e

$\frac{c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$ .

$s \frac{i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$

Passaggio 9.8

$s$ e

$\frac{i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$ .

$\frac{s (i (c ({(6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))))}{2}$

Passaggio 9.9

Rimuovi le parentesi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.9.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i (c (6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))))}{2}$

Passaggio 9.9.2

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i (c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)))}{2}$

Passaggio 9.9.3

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i (c \cdot 6^{\frac{1}{2}}) (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Passaggio 9.9.4

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k))}{2}$

Passaggio 9.9.5

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i c \cdot 6^{\frac{1}{2}}) (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Passaggio 9.9.6

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s (i c) \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Passaggio 9.9.7

Rimuovi le parentesi.

$\frac{s i c \cdot 6^{\frac{1}{2}} (\frac{2 \cdot π}{3} + 2 π k)}{2}$

Passaggio 10

Sostituisci

$k = 0$ nella formula e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Rimuovi le parentesi.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - \frac{π}{3}) + 2 π (0)}{2})$

Passaggio 10.2

Per scrivere

$π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{3}{3}$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Passaggio 10.3

$π$ e

$\frac{3}{3}$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Passaggio 10.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Passaggio 10.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Sposta

$3$ alla sinistra di

$π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Passaggio 10.5.2

Sottrai

$π$ da

$3 π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π (0)}{2})$

Passaggio 10.6

Moltiplica

$2 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Moltiplica

$0$ per

$2$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 0 π}{2})$

Passaggio 10.6.2

Moltiplica

$0$ per

$π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 0}{2})$

Passaggio 10.7

Somma

$\frac{2 π}{3}$ e

$0$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3}}{2})$

Passaggio 10.8

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 10.9

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.9.1

Scomponi

$2$ da

$2 π$ .

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 10.9.2

Elimina il fattore comune.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 10.9.3

Riscrivi l'espressione.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{3})$

Passaggio 11

Sostituisci

$k = 1$ nella formula e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{(π - \frac{π}{3}) + 2 π (1)}{2})$

Passaggio 11.2

Per scrivere

$π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Passaggio 11.3

$π$ e

$\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Passaggio 11.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{π \cdot 3 - π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Passaggio 11.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Sposta

$3$ alla sinistra di

$π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{3 \cdot π - π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Passaggio 11.5.2

Sottrai

$π$ da

$3 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π (1)}{2})$

Passaggio 11.6

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π}{2})$

Passaggio 11.7

Per scrivere

$2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}}{2})$

Passaggio 11.8

$2 π$ e

$\frac{3}{3}$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}}{2})$

Passaggio 11.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π + 2 π \cdot 3}{3}}{2})$

Passaggio 11.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.10.1

Moltiplica

$3$ per

$2$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{2 π + 6 π}{3}}{2})$

Passaggio 11.10.2

Somma

$2 π$ e

$6 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{\frac{8 π}{3}}{2})$

Passaggio 11.11

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{8 π}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 11.12

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.12.1

Scomponi

$2$ da

$8 π$ .

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (4 π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 11.12.2

Elimina il fattore comune.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{2 (4 π)}{3} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 11.12.3

Riscrivi l'espressione.

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{4 π}{3})$

Passaggio 12

Elenca le soluzioni.

$k = 0 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{π}{3})$

$k = 1 : 6^{\frac{1}{2}} c i s (\frac{4 π}{3})$